今天我們來談談定期定額（一）

大家應該可以發現我的Tag裡面並沒有定期定額（Dollar-cost Averaging），因為這種策略在邏輯上並不能吸引我。相信定期定額的人大多是因為知道自己無法預測市場，所以透過定期定額來讓自己的投資成本可以接近長期股市的平均值。這樣的作法如果在忽上忽下，固定價位循環的市場上應用，那麼持股也就接近長期的平均值，例如十年線。台股在1991年開始到現在將近20年可以算是這種走勢的代表：

如圖，可以說台股在4000到9000來回震盪，而如果這20年來定期定額，平均成本大約落在6400點左右，假設在9000點賣出（震盪區間的高點），獲利大約40%，年化之後，說實在的並不吸引人。為什麼呢？有人說定期定額可以降低平均持有的成本，這種說法是明顯有問題的，因為也有可能拉高平均持有成本，有興趣的可以看看日本的例子：

可以自己把均線改成十年線（520），可以很清楚看到一路往下的樣子，牛市的高點不再突破前高，熊市的低點卻一再突破前低，這種市場平均持有成本是16400，但假設有幸市場回到前高（18300），20年的報酬也只有11%，而前面十年完全是在拉高成本的（前十年平均成本19000）。而日本市場也是一個例子告訴我們長期投資狀況下報酬未必一定回正，即使已經20年了。那麼美國又是怎樣呢？（下圖的均線為600週）

不得不承認這是一個接近完美一直往上走的市場。二十年來的平均成本在840左右，在這種走勢之下，幾乎隨時賣掉你的持股都還是賺的。這差異在哪裡？台股有一半的時間可以讓你賣掉持股還有賺錢，日股只有在牛市靠近最高點賣掉持股才有賺，而美股只要避開超級大熊市就有賺了。所以也只有在不斷向上的市場，定期定額才有降低平均成本這回事。但是未來呢？有沒有發現近十年來台股、日股、美股的走勢越來越一致，假設這三個市場都變成跟台股一樣在固定價位震盪，那定期定額會是好策略嗎？肯定不是。

假設完美市場--美股將來只會在800-1600這個區間來回（如果從1997看到現在的確已經是這樣維持12年了，形成超大而漂亮的M字型），那麼你會怎麼做？金字塔操作策略很明顯會比定期定額好。可以把1997到2009這12年的平均成本從1100降低到1000，幾乎是一成了。

再回到這句話：相信定期定額的人大多是因為知道自己無法預測市場。

所以我們也無法預測將來市場會怎麼走，台股、日股、美股這些劇本會是哪一個上演？沒有人知道，而定期定額只適合一個劇本，這種賭贏的機會還真小。如果說要我預測明天股市漲或跌，長期下來不論我猜漲還是跌，輸贏機會都是一半一半，但是用定期定額策略來賭將來市場會不斷往上走，贏的機會會超過一半嗎？

我們來看看過去十年定期定額的投資人目前結果如何？

平均價位是110.03（現在SPY價位為98），十年來換到的是-8.1%，而且十年還會有人說這不是長期投資嗎？

小結：

1. 對於長期往上的市場，定期定額是很好的策略。
2. 對於長期上下固定區間震盪的市場，金字塔操作策略是很好的策略。
3. 對於長期往下的市場，避免投資是最好的策略。
4. 因為無法預測未來走勢，所以採取定期定額策略。但也因為無法預測未來走勢，所以根本無法得知將來市場是否長期往上，也因此定期定額就無法被確定會是一個好的策略。
5. 我們無法預測未來走勢，但是我們能夠判斷現在是牛市還是熊市，或者說，我們能夠知道現在股市有沒有打折拍賣。（....To be continued）

PS：這邊純粹以指數來討論，並未加入股息、納稅等收入支出。純粹只是為了把討論簡單化。

今天我們來談談定期定額（七）

這篇文章的內容主要來自於Value Averaging（2006）一書中的第三章。

定期定額並沒有徹底解決買高賣低的問題，而只是高點買，低點買更多，而價值平均法則反而是高點減少投入金額或甚至賣掉持股，低點大量買進持股。如果嚴格按照紀律執行，那麼價值平均法可以讓你避免在市場高點的時候，因為市場一片樂觀的氣氛而大量買進，也可以避免你在市場底部因為恐慌而拋售持股。只是如果遇到長期向上的市場，這個策略就會面臨拋售過度的問題。

價值平均法在1926-1991這66年間，贏了定期定額58次，只輸了8次，平均下來VA平均年獲利13.77%，比DCA的12.61%高1.16%（見下圖）。而價值平均法甚至在1932年獲利25.86%，即使當年市場下跌了9%，而那一年CS表現是+3.73%，DCA則是+11.25%。

如果以五年為時間尺度做分析呢？（1926-1930到1987-1991）在62個時間尺度裡面，VA比DCA高52次，VA（11.33%）比DCA的報酬（10.20%）高了1.33%。為什麼VA在五年的尺度表現會輸給一年的尺度呢？因為一開始每個月投入100元對全部的資產佔很大的比例，可是隨著時間的累積，每個月所投入的金額同樣是100元，影響力卻減少了。要解決這個問題可以設定value paths。

那麼在長期投資的狀況下，VA表現如何呢？如果是最單純的價值平均法和定期定額比較，在1926-1991的這段期間，其實整體表現是輸給了CS和DCA這兩種策略，這跟DCA長期輸給CS的原因一樣，如果在66年這麼長的時間，每個月都只有讓價值增加100元，那麼將無法追上市場的快速成長，甚至如果一個長期向上的市場，就會因為市場的向上而減少了投資的金額（因為股價上漲而不需要投入那麼多資金就可以讓整個資產增加100元。），結果因此更無法追得上市場。

下面兩張圖是定期定額和價值平均法以五年為投資週期的比較。定期定額每個月投入固定的金額，而所擁有的股票價值也緩步上揚。而價值平均法每個月擁有的股票價值固定金額增加，但是投入的金額卻或多或少。所以在經過一段時間之後，價值平均法的資產整體價值會落後給定期定額，但所投入的資金也比較少。當市場穩定成長的時候，價值平均法的每個月固定價值成長反而會讓投資人越來越落後給市場，而且這種落後不必超過十年就可以看到，相對來說至少每個月買一股的CS投資策略會隨著市場成長。

由上圖可以看出價值平均法最大的問題是，當一開始的時候，因為手中沒有持股或持股很少，所以每個月價值固定要增加的100元大多來自於額外資金的投入，但是過了一兩年之後，因為持股已經不少了，這時候每個月固定增加的100元價值可能就是來自於手頭持股的上漲，甚至你還從股市領出錢來，這種狀況並不是投資人想要見到的。

所以如定期定額的固定時間增加投入的金額，對於價值平均法來說也需要這樣做，例如本來每個月預期增加的價值為1000元，在十個月後可以調整為1100元。而如果跟定期定額一樣考慮了通膨和市場成長兩個因素，則應該把VA的價值每年提昇9.9%。例如第一年每個月價值增加100元，第二年就是每個月價值增加110元。不過相對定期定額是把每年的投入金額提高8%，VA的價值提高10%卻未必是投入金額的提高，因為股市的成長也會讓投資人需要投入的金額不需要提高10%就可以達到價值的10%提昇。而在這種調整之後，VA從1926-1991的平均年報酬已經達到12.56%，遠超過CS和DCA了。

價值平均法比起定期定額的策略更彈性，但是也更複雜，但是不論定期定額或價值平均法，長期投資的人都應該跟上市場的成長，而不是就以為只要簡單的讓戶頭有錢可以扣款就好。長期投資並不意味著可以完全不管，定期定額是簡單的策略，但是投資人也要用其他輔助的調整步驟去克服定期定額的缺點。作者雖然出書推廣價值平均法，但是他並未全盤推翻定期定額這個策略，因為定期定額簡單、便宜（多數券商有共同基金的定期定額免佣金計畫），而價值平均法比較彈性，卻也稍微複雜一點，並不見得適用於所有投資人。

而以上都是用1926-1991的資料，作者在2006第二版的書中也把1992-2005的資料加進去了，結果也差不多。

那麼如果想使用價值平均法，但是每個月投入資金一次又會有手續費成本的支出，要怎麼辦呢？或許把投資的頻率拉長為一季是可行的：

最後，書中的一句話推薦給大家：Being flexible is good, but being flexible with a plan is better.

今天我們來談談定期定額（三）

今天談論的主題是，定期定額在什麼情況下會有效降低平均投資成本？

以SPY為例，從1995年一月到1999年十二月總共60個月，進行定期定額，透過buyupside.com的Dollar-cost Averaging Calculator計算可得平均成本為75.37元，而這段期間的260週EMA則是86，所以成本降低了13%左右。

接下來以2000年四月到2003年三月總共36個月進行定期定額，計算得平均成本為100.37，而這段期間的156周EMA則是95，所以在下跌的市場中，定期定額的平均成本反而高出了5%。

以2000年四月到2007年三月總共84個月進行定期定額，計算得平均成本為106，而這段期間的364周EMA則是107，所以在先下跌再上漲的市場中，定期定額的平均成本和均線是差不多的。

以1997年四月到2003年三月總共72個月進行定期定額，計算得平均成本為98.87，而這段期間的312周EMA則是93，所以在先上漲再下跌的市場中，定期定額的平均成本反而高出了6%。

最後計算超過十年的尺度，如果以1997年五月到2008年十二月總共140個月進行定期定額，計算得平均成本為107.49，而這段期間的600周EMA則是104，其實差異約3.3%，並不算大。這12年間總共經歷兩次完整的多空循環，因此在這種情況下，定期定額的平均成本並未明顯低於均線，甚至還略高了一些。

所以其實只有在完美持續上漲的市場，定期定額才能有效降低平均投資成本，其餘狀況可能是接近平均，甚至還高於平均。

今天我們來談談定期定額（二）

這一篇來分享一些學術研究對定期定額的看法：

1. Nobody Gains from Dollar Cost Averaging Analytical, Numerical and Empirical Results-JR Knight, L Mandell, Financial Services Review, 1993

Abstract：

Dollar Cost Averaging is an investment system that is widely advocated by brokerage firms and mutual funds. In its best known form, an investor seeking to put a lump sum into risky assets is counseled to invest the money over a period of time in equal installments in order to avoid the devastating effect of a market fall immediately after a single, lump-sum investment. Using graphical analysis, historical stock market returns, and Monte Carlo simulations, this article demonstmtes that no such benefit accrues to a Dollar Cost Averaging Strategy. Two alternative strategies, optimal rebalancing and buy and hold achieve better performance in all three analyses.

這一篇文章比較了三種投資策略：定期定額（Dollar Cost Avemging）、單次投入（Lump Sum），單次投入又分為最佳化再平衡（Optimal Rebalancing，單筆買進後會執行再平衡）和買進持有（Buy and Hold）。三種策略比起來，定期定額不如其他兩個策略。

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2. Mathematical Illusion: Why Dollar-Cost Averaging Does Not Work-by John G. Greenhut, Journal of Financial Planning, 2006

Executive Summary

• In spite of the weight of evidence provided in academic literature against the strategy of dollar-cost averaging, DCA continues to be practiced by investors and recommended by financial advisors.在學術文獻上並沒有明顯的證據支持定期定額這個策略，但投資人還是繼續使用，金融專家也持續建議。
• Beyond its psychological appeal, the popularity of the approach can be said to stem from simple illustrations that show DCA resulting in greater stock holdings across a stock market cycle than is achieved by a one-time, lump-sum investment. Alternatively presented, the average cost per share purchased under DCA is demonstrated, by example, to be less than the average price of stock over its cycle.除了心理學上的好處，定期定額之所以盛行是因為這個策略據說在經過一個股市週期之後，可以買到多於單筆投入的股數，或是換個方式說，定期定額的平均持有成本比較低。
• This paper challenges that illustration. It shows that variations in stock prices should not follow the mathematical pattern assumed in the examples. In fact, the price movement should follow a particular mathematical form that yields the same number of shares purchased, whether by DCA or lump-sum investing.這篇論文挑戰了這個說法。股價的變動並不是像定期定額說明的例子那樣，而是有一個特定的數學形式在變動，因此不管是定期定額或單筆投入，買到的股數應該都是一樣的。
• Absent any benefit from stock price volatility in reducing average cost, the performance of DCA rests on the trend in stock prices, with DCA outperforming in downward markets and lump sum outperforming in upward markets. Since the latter case is the norm over time, customary empirical findings in the finance literature of underperformance by DCA are explained.既然定期定額本身並沒有辦法降低持股的平均成本，那麼這兩個策略的績效差異其實是來自於股市的趨勢，在往下走的股市定期定額表現得比較好，而在往上走的股市單筆投入表現得比較好。因為過去長期以來市場大多往上走，所以這就是為什麼在財經文獻裡面定期定額的績效都比較差。
• The theory in this paper is confirmed by examining a broad sample of stocks, contrasted over the high-growth trend in the second half of the 1990s against the general market malaise over the following half-decade. In the absence of this trend, DCA and lump sum provide equivalent results.這篇論文用很多的股票和很長的時間（1995-2004）來檢驗理論，有五年的上行和五年的下行，如果沒有這些趨勢，其實定期定額和單筆投入的結果是一樣的。

Conclusion：Whether DCA is practiced by investors should be based on their psychological makeup (for example, aversion to regret) and their outlook for stocks, not on an overly simplistic and misleading representation of how stock prices vary.

「股價的變動並不是像定期定額說明的例子那樣」這句話是什麼意思呢？定期定額最常引用的是Bierman and Hass (2004)這篇文章中的例子。假設起始價位為100元，上漲和下跌50%的機率各為一半，如果戶頭裡面有9000元可投資，那麼單筆投入就是以100元的價位買了90股，而定期定額的話就是各花3000元在三個時間點買，價位分別為100, 150, 50，所以總共買到30+20+60=110股，平均價格約為82，比單筆投入的90少。

可是股價是這樣變動的嗎？如果股價是先漲50%，再跌50%，那麼每一期的股價其實是100, 150, 75，總共買到30+20+40=90股。這個狀況下是不是跟單筆投入一樣呢？平均持有成本都是100元。那麼你認為哪一種情況比較接近股市的價位變化呢？作者認為是第二個情節，因為股價的變化大多是以前期價格，而不是以起始價格的百分比去變動，況且50-150這種高低點的差異太大了。

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3. Dollar-cost Averaging：An Investigation-Wei Fang's Dissertation, 2007

Abstract：

Dollar-cost Averaging (DCA) is a common and useful systematic investment strategy for mutual fund managers, private investors, financial analysts and retirement planners. The issue of performance effectiveness of DCA is greatly controversial among academics and professionals. As a popularly recommended investment strategy, DCA is recognized as a risk reduction strategy; however, the advantage was claimed as the expense of generating higher returns.

The dissertation is to intensively investigate the performances of DCA in light of the literatures comprehensively researched by previous thinkers. Using Monte Carlo simulation, the reviewed outcomes are confirmed by scientifically tests that DCA strategy is superior to reduce risk, but it is inferior to LS strategy in terms of effectiveness to produce returns. Although providing outperformances by investing in less volatile assets, it is more suitable to be applied for more risky investments in comparison with LS.

這是一本研究生的論文，他找出定期定額相關的文獻（27篇），並自己做模擬分析。結論是定期定額可以降低風險，但是和單筆投入在報酬上比起來是比較差的。在他回顧的文獻中，有41%認為定期定額不如單筆投入，有22%認為定期定額比單筆投入好，剩下的37%是Mixed opinions on DCA。因為這些特性，所以作者認為可以對風險高的做定期定額，風險低的就單筆投入。

Conclusion：

• DCA strategy is reducing risk strategy. But it is inferior to LS strategy in terms of effectiveness to generate returns.
• Generally, DCA strategies have better performance by investing in less volatile assets. However, compared with LS, DCA is suitable to be applied for investments with more risky underlying assets due to its significant ability to hedge risk.

這個表是以S&P 500過去的資料，用軟體以蒙地卡羅的統計方法跑一千次模擬單筆投資（LS）和定期定額（DCA），結果顯示單筆投資會比定期定額獲得更好的年報酬。原文還有幾個類似的表，用不同的資料，但結果都很類似。不過定期定額的風險則是比單筆投入小。

在他回顧的文獻中，有41%認為定期定額不如單筆投入，有22%認為定期定額比單筆投入好，剩下的37%是Mixed opinions on DCA。

在他的論文裡面，在附錄有整理他索引用的文獻，把這些研究的假設、研究方法、結論和評論都作成表格，非常值得一看。

Comments：所以投資人在使用定期定額之前，最好先瞭解自己的投資需求是否真的適合使用定期定額。我的建議是，如果你已經存有一筆打算用來投資的資金，不妨趁熊市單筆投入壓低成本，像是今年三月那種機會十年才一次！而現在價位S&P 500在1000左右雖然已經從最低點漲了50%，但是距離歷史高點也還有50%的空間，並不算貴。

至於如果才準備要開始，那我會建議不要把所有的投資資金都用定期定額！投資需要一點耐心來等待機會，而機會總是在不經意的時候出現，所以即使在牛市，也會有機會讓投資人撿到便宜的，而如果在熊市，更是要想辦法讓自己滿手現金大買便宜貨。我想去年很多銀行都缺錢缺到快瘋了，其實很多投資人也是，但是如果有人能夠說出：我還有點錢，那個人現在一定很快樂。知道我說的是誰了吧？是的，就是巴菲特，他的現金多到甚至可以去借給高盛，拿到條件很好的優先股，還有固定10%的收益。我們不必像股神那樣，但是如果我們手頭也都隨時還有點錢的話，機會來臨的時候，我們才有辦法掌握。

如果S&P 500還有機會來到666這種低點，你會高興還是難過？我會很高興，因為可以買到這麼便宜的好貨，除非我沒有錢可以買了，那我就真的會很難過了。

很多投資人按照固定比例的資產配置，然後乖乖的定期定額買入，這其實是很簡單的投資策略，沒有不好，但是可以更好。因為既然做了資產配置，就表示你的各資產之間一定有相關性之間的差距，如果沒有，那麼配置也沒什麼作用了。現在簡單假設你的配置很簡單，只有股、債兩種，而這兩個資產之間剛好是負相關，也就是股漲了，債就跌。那麼你要乖乖的定期定額買？還是使用資產配置的再平衡方式去買？也就是說在股漲的時候少買一點，而債跌的時候多買一點，如此交替，長期下來你的平均持有成本將會降低很多。

所以又到我前面說的，市場上不管牛市、熊市，永遠都可能突然冒出機會，例如來了超級大牛，債券沒人要了，跌得一塌糊塗，你還要去追高買很貴的股票？還是買五折大出清的債券，然後等大牛過去的泡沫破滅，熊市來臨時，你逢低買進的債券變得很有價值，而你繼續維持著還有點錢的狀態，等著買大熊市五折大出清的股票。會省錢買東西的人，都是趁著打折拍賣的時候掃貨的。

不過並不是只有熊市才可以買股票，有些類股在牛市也可能被遺忘，尤其是那些在熊市被當作防禦類股的，可能在牛市的時候反而可以趁機撿到便宜的好股票，這都是經過一些時間的累積就可以看得出來的規律。對了，這裡講的是很長期的操作，時間尺度都是以年為單位的，也記得以投資一家好公司的概念去買股票，而不是投機性的只想賺一個漲跌的波段或是在經濟循環的過程中衝浪。

所以，你現在還有點錢嗎？定期定額可以用，但是我建議你，最好手邊也要留點錢，除了當好的投資機會來臨時，你有現金才能抓住機會，也是當市場不如預期的時候，你有點現金還可以做點避險的動作。

今天我們來談談定期定額（六）

這篇文章的內容主要來自於Value Averaging（2006）一書中的前兩個章節。

價值平均法其實可以說是兩種策略的衍生物，一個就是定期定額，一個則是資產配置的再平衡。定期定額是在一個固定時間（月、季、年）投入特定數目的金額，這樣可以在股價低的時候買到比較多的股數，而股價高的時候買到比較少的股數。再平衡則是調整資產配置到原始設定的狀態，所以會增持下跌的資產，減持上漲的資產（減持未必是賣出，可能只是買比較少），也達到了買低、賣高。

而價值平均法也是固定時間買入資產，只是會隨股價而調整投入金額的多寡，股價越低投入越多資金，股價高則投入比較少。所以比起定期定額更好的是不會在低點無法加碼多買一點來拉低平均成本，也不會在高點也要投資那麼多的資金買到價格太高的股票。

所有方法都會有缺點，像是資產再平衡如果遇到長期熊市或長期牛市就會失效，例如1990年開始的美國和日本，因為再平衡的作法會迫使投資人買入過多持續下跌的資產，同時減持持續上漲的資產，而這個問題同樣也會發生在價值平均法。

而相對於定期定額大多是以一個月投入一次資金，價值平均法因為進場成本比較高，所以一季投入一次資金的頻率是比較適合的。

許多人已經意識到了主動選股和選基金的不切實際，因此採取被動投資指數的策略。只是當你選定了被動投資的策略時，主動投資所使用的分析方法將無法應用在被動投資上，尤其是如何買進、何時買進等這些問題就無法解決。也因為被動投資人不但認清了沒有選股的能力這個事實，也認清了無法擇時投資的這個事實，所以大多數被動投資人的買進也都採取被動的方式進行，例如定期定額的方式，這種公式化的投資方式提供了一種可以克服對市場股價和情緒過度反應的策略，稱之為Formula Strategies，讓投資人可以不必主動決定何時買進、買進多少股票。

定期定額是最受歡迎的被動公式化投資策略，其原文定義如下：Invest the same amount of money each time period, regardless of the price.如果嚴格遵守紀律，這種投入資金的方式可以讓你避免市場恐慌的時候離開市場，當然這種方式也會讓你暴露在市場本身波動所造成的風險，只是如果在長期投資的情況下，風險會隨著投資時間的拉長而降低。

定期定額（DCA）和單筆投資其實不能拿來做比較，因為單筆投資可能是你突然中樂透、拿到親人的遺產、公司給了一筆大額的獎金等狀況。而定期定額則是以固定時間有固定收入，把收入的其中一部份拿來進行投資，例如月薪或是年終獎金。所以如果你有一筆一百萬的資金，分成一百個月，每個月投入一萬，這樣做反而不好，不如讓資金早點全部進入市場。而如果你一個月的月薪裡面有一萬可以投資，那麼最好是採用定期定額的方式。

所以定期定額比較適合的比較對象是CS（constant share）買進策略，也就是不論股價多少，每個月買進一定的股數，例如一股，而CS法買進的成本就剛好是市場的平均成本。如果比較DCA和CS兩個買進策略，以一年為時間尺度去做分析，會發現在1926年到1991年這66年之間，DCA報酬比CS高佔了51年，兩年差不多，13年CS高於DCA。當DCA比CS高的那51年，DCA平均提供投資人9.97%的報酬，而DCA比CS的報酬高出0.71%。而在這66年之間，DCA獲得平均每年12.61%的報酬，CS則是12.02%，比DCA低0.56%。

那麼把時間拉長一點，如果以五年為時間尺度做分析呢？（1926-1930到1987-1991）在62個時間尺度裡面，DCA比CS高52次，而CS比DCA高只有10次。而同樣的，DCA比CS的報酬高了0.89%。不過不管如何，其實DCA對報酬的影響都不算很大，當熊市來臨的時候，並不會因為DCA就讓你的資產不會有損失。

定期定額如果應用在長期投資，會有一些問題出現。看起來好像不管一年或五年的尺度，DCA的報酬都比CS高，但是如果從1926年開始每個月投資一美元和每個月投資一股來做比較，CS的年報酬11.24%就會勝過DCA的11.03%。而更糟糕的是，如果投資人真的維持這麼長期的投資，那麼在1926年投資一美元，到1991年也投資一美元就顯得很不合理了。而相較之下CS每個月買一股就有機會隨著時間而增加投資的金額，例如1926年一股才一美元，但到了1991年一股可能已經是100美元了。所以長期投資人使用定期定額的策略時，應該要把通膨因素考量進去，可以照實際的數字做調整或是很簡單的把每年定期定額的金額增加3%，例如去年每個月投入100元，今年就投入103元。不過即使經過通膨調整，定期定額的報酬也只有11.09%，還是不如CS的11.24，為什麼呢？

長期投資的定期定額策略，除了通膨以外，也要在一段時間之後，檢視一下是否投入的金額已經趕不上市場的成長了。例如一個市值一千億的股市，每個月投入一百元，投入的資金就佔了總市值的十億分之一，但是當市值成漲到一兆，每個月投入的金額卻沒有跟著成長，那麼投資人的報酬也就無法跟上市場的成長。假設1926投資一元買到的一股，到1991年已經成長為533.64元一股了，但是1926年每個月投資一元的定期定額投資人，在隨著通膨增加投資金額之後，到1991年已經是每個月投資八元，但是卻只能買到533.64的0.015股而已。那麼市場的成長要大概是多少呢？長期下來大約是每年7.96%左右，而市場成長通常也已經包含了通膨的調整，所以如果考慮到每年的通膨和市場成長，投資人每隔一年要增加的定期定額資金就應該成長8%。在考慮這兩個調整之後，DCA策略在1926-1991年的年報酬是11.46%，比CS還高了，而到1991年的時候，DCA每個月投資的金額則成長為155.44元。

所以長期使用定期定額策略的投資人，應該考慮通膨以及投資的金額是否有跟上市場的成長。被動的公式化投資策略並不是意謂著就完全不必調整和定期的檢視，反而更需要投資人隨時留意市場已經產生偏離，當然不需要每天看，一兩年檢視一次就夠了。

定期定額是一種簡單而有效的策略，可以在一段時間之後累積出相當的財富，投資人不需要知道市場是高還是低，這個策略本身就會讓投資人在低點買多一點的股數，在高點買少一點的股數，但是也因此無法降低平均持有的成本。而定期定額策略的另一個問題是沒有出場策略，尤其是應用這個策略的投資人大多就是無法或是不信任擇時交易的人，所以當定期定額只提供被動買進的策略，卻沒有涉及賣出策略，就很可能讓投資人在不好的時機點出場而蒙受損失。所以投資人除非是定期定額出場，勢必要另外找到一個也包含有賣出策略的被動公式化投資策略，或是另尋一個策略用在賣出持股的動作上。

今天我們來談談定期定額（五）

前面談到使用簡單的技術指標可以取得比定期定額更低的成本，這對於長期投資的投資人來講尤其重要，而今天要談的是另一種方法，叫做價值平均法（Value averaging, VA），是哈佛大學的Michael E. Edleson所提倡的，有一本同名的書，在Amazon或博客來外文書店都買得到，2006年有出版第二版。

這個方法改善了定期定額（DCA）最根本的問題：在低點無法加碼買進，在高點也無法減碼，結果就造成了當股價高於價值的時候，投資人卻還是機械化的買進了，而當股價低於價值的時候，投資人卻無法在機制內趁便宜的時候多買一點。

這個方法用表格來表示會比較好：

股價	累積投入金額	DCA買進單位	VA前期帳戶	VA應買金額	VA應買單位	VA累積單位
10	100	10.00	0.00	100.00	10.00	10.00
12	200	8.33	120.00	80.00	6.67	16.67
8	300	12.50	133.33	166.67	20.83	37.50
11	400	9.09	412.50	-12.50	-1.14	36.36
14	500	7.14	509.09	-9.09	-0.65	35.71
15	600	6.67	535.71	64.29	4.29	40.00
13	700	7.69	520.00	180.00	13.85	53.85
9	800	11.11	484.62	315.38	35.04	88.89
7	900	14.29	622.22	277.78	39.68	128.57
10	1000	10.00	1285.71	-285.71	-28.57	100.00
Total		96.82		876.81		100.00

定期定額很簡單，就是每個月不管股價多少都投入100元。而價值平均法比較複雜一點，但是如果搞懂以後也會覺得很簡單。

假設預計每個月帳戶要增加一百元，這裡跟定期定額不一樣的是增加一百元，而不是投入一百元。第一個月股價10元，帳戶要增加一百元就是用100元買10單位。到了第二個月，股價上漲為12元，帳戶的10單位價值已經漲為120元了，這時候因為帳戶每個月要增加一百元成為兩百元，所以第二個月只要花80元買入6.67個單位就可以了。所以前期帳戶就是該月股價乘上上一個月的累積單位數，應買金額則是累積投入金額減去前期帳戶，應買單位則是應買金額除以股價，累積單位則是上個月的累積單位加上該月的應買單位。

所以DCA的買進方法這十個月付出的成本是1000元，買到96.82單位，平均成本為10.33元，而這十個月的平均股價則為10.9，所以在這個範例中DCA的確是降低了平均持有成本約5.2%。那麼VA呢？總共投入876.81元，買到100單位，平均成本為8.77元，降低了平均持有成本約19.54%，也比DCA低很多，而到最後一個月，累積獲利大約46%。

當然，這個例子裡面股價的起伏會造成VA好像降低成本的效果非常強，一般實際應用並不會這麼誇張，但是在統計上來看和定期定額是有顯著的差異的。有興趣的可以看這一篇學術文獻：

• Marshall, Paul S. (Spring 2000). "A Statistical Comparison of Value Averaging vs. Dollar Cost Averaging and Random Investment Techniques" (PDF). Journal of Financial and Strategic Decisions 13 (1): 87–99.

這個方法的缺點在於，如果你使用的是共同基金，就無法使用這種方式，除非你採用的是定期不定額的投資方式，但是你選擇的金融機構未必有提供定期不定額的選擇。如果你使用的是ETF，那麼這種方式等於要一個月交易一次，就算是一次交易七美元，其實也是很大的一筆投資成本。而另外一個問題是這種方式如果遇到長週期的熊市，錢很快就花光了，而遇到長週期的牛市，反而是越買越少，甚至會一直拋售持股。當然，逢高賣出把獲利放進口袋也是這個策略的特點之一。以下就是股價一直上漲和一直下跌的狀況：

【長週期的牛市】：買到的單位會很少。平均成本是9.46，只用掉原本預估的63%預算。不過獲利已經超過50%。

股價	投入金額	DCA買進單位	VA前期帳戶	VA應買金額	VA應買單位	VA累積單位
10	100	10.00	0.00	100.00	10.00	10.00
7	200	14.29	70.00	130.00	18.57	28.57
8	300	12.50	228.57	71.43	8.93	37.50
9	400	11.11	337.50	62.50	6.94	44.44
10	500	10.00	444.44	55.56	5.56	50.00
11	600	9.09	550.00	50.00	4.55	54.55
12	700	8.33	654.55	45.45	3.79	58.33
13	800	7.69	758.33	41.67	3.21	61.54
14	900	7.14	861.54	38.46	2.75	64.29
15	1000	6.67	964.29	35.71	2.38	66.67
Total		96.82		630.78

【長週期的熊市】：事實上在最後兩個月已經沒錢買了，因為第八個月買完已經達到981元。而在這個情況下，買到的單位數非常可觀，可是帳面上的報酬率是-45%，因為在低點持續買進，所以持有成本低很多，但是在熊市的報酬也比DCA難看很多。

股價	投入金額	DCA買進單位	VA前期帳戶	VA應買金額	VA應買單位	VA累積單位
10	100	10.00	0.00	100.00	10.00	10.00
15	200	6.67	150.00	50.00	3.33	13.33
14	300	7.14	186.67	113.33	8.10	21.43
13	400	7.69	278.57	121.43	9.34	30.77
12	500	8.33	369.23	130.77	10.90	41.67
11	600	9.09	458.33	141.67	12.88	54.55
10	700	10.00	545.45	154.55	15.45	70.00
9	800	11.11	630.00	170.00	18.89	88.89
8	900	12.50	711.11	188.89	23.61	112.50
7	1000	14.29	787.50	212.50	30.36	142.86
Total		96.82		1383.13

然而如果拉長到季甚至是年，這種方法在成本方面的考量就比較可以接受了。我過陣子會把Michael E. Edleson的Value averaging一書心得分享給各位，到時候再更詳細的討論價值平均法。各位如果有定期定額的各種替代策略也可以留言一起討論。

今天我們來談談定期定額（九）

今天要講的是這篇文章：

• Marshall, P.S., “A Statistical Comparison of Value Averaging vs. Dollar-Cost Averaging and Purely Random Investing Techniques”, Journal of Financial＆Strategic Decision Making, Vol. 13, Issue1, 2000.
  

同時以這篇更新的文章做補充：

• Marshall, P.S., “A Multi-market, Historical Comparison of the Investment Returns of Value Averaging, Dollar Cost Averaging and Random Investment Techniques”, Academy of Accounting and Financial Studies Journal, Sep, 2006.
  

我們先看看2000那一篇的摘要：

As the title suggests, this paper compares two “formula” or mechanical investment techniques, dollar cost averaging and a relatively new proposal, value averaging, to a form of random investing to determine if any technique yields superior investment performance. Results indicate that value averaging does provide superior expected investment returns when investment prices are quite volatile and over extended investment time horizons with little or no increase in risk. These results are quite surprising based on other research supporting the Efficient Market Hypothesis and the fact that any actual performance attributed to value averaging does not result from any temporary inefficiency in market prices.

結果顯示價值平均法的確在股價非常變動的情況下，不需要增加或增加很小的風險，就可以獲得雖然幅度不大，但是多於定期定額的報酬。

而2006的摘要：

As the title suggests, this paper compares two "formula" or mechanical investment techniques, value averaging (VA) and dollar cost averaging, to a form of random investing to determine if any technique yields superior investment return performance. The tests use historical market prices of chosen stock and commodity indices. Results seem to indicate that value averaging does provide a small but still superior expected investment returns under most conditions. Due to the relatively few real world "experiences" available, these results can only be anecdotally and not statistically confirmed at a high confidence level. Actual investment results reported here are consistent with prior statistically significant research supporting a small investment performance advantage for value averaging versus both other techniques using simulation to approximate market activity. Evidence builds that VA works!

大意是說價值平均法並不是一定勝過定期定額的方法，但是大多數情況下可以獲得較多的報酬。不過在真實投資情況下因為實例還不多，這兩者的差異還沒達到統計上的顯著差異。

我們在回頭來仔細看2000那一篇文章。

在Introduction裡面，作者提到了他們先在1994年比較過定期定額和隨機投資（random investment techniques），統計的結果顯示在99%的信心下，這兩個方法投資表現沒有統計上的顯著差異，而在95%的信心下，這兩個方法的風險（標準差）是一樣的。然後作者談了一下效率市場，接著就提起Value Averaging這本書，並且認為這應該是很大的進展，但也很疑惑為什麼學術界並沒有針對價值平均法再做測試，所以他這篇文章就打算測試價值平均法是否真的有更高的報酬，但是風險卻不會提高太多。

接下來作者就準備了三組數據做測試，分別是Rising Market、Declining Market和Fluctuating Market（嘿！跟這系列第一篇我所提供的三種情節一樣。）結果顯示VA都比DCA好，賺的時候賺比較多，賠的時候賠比教少，但是其實差異不大。而作者提到其實VA的書裡面認為應該要有10%的價值隨時間增長，也就是第一期400，第二期不應該只有800而應該是840，所以又做了一次比較，結果也是差不多的，甚至在Fluctuating Market，VA勝過DCA超過3%。下圖就是原始版的DCA和VA比較：

接下來作者做了500次模擬，比較VA vs. DCA and Random這三種投資方法，並且用F-test做統計檢驗，比較各種方法的IRR（內部報酬率）有沒有顯著差異。使用的資料是S&P 500從1966-1989，任取五年500次，而所謂的隨機投資則是每個投入點會有50%的機率選擇要或不要投資，而投資的金額則是DCA的150%和250%，兩種金額機率也各50%，累積下來總投入的金額期望值會跟DCA一樣（很簡單的數學，算一下的確如此）。而這樣做有三個好處：1. 很像真實的投資行為。2. 投入金額期望值和其他方法一樣。3. 和作者之前的文章使用相同的方法，可以直接做比較。（我想重點是第三個）

而為什麼時間尺度是五年？因為五年剛好是20季，對於統計上要有顯著的結果已經夠長了，而且作者有提到許多其他學術文獻也都同樣用五年的時間尺度。而資料是有包含股息再投入的。

所以模擬後，VA獲勝的次數是73.5%，DCA只有3.9%，隨機投資則有22.6%。

而最後看看作者結論：

Results strongly suggest, believe it or not, that value averaging does actually provide a performance advantage over dollar-cost averaging and random investment techniques, without incurring additional risk. As might be expected from a technique that does outperform, the higher the price variability and the longer the investment time horizon the better. Each gives value averaging the time and the opportunity to work its “magic”. The results are amazing and Dr. Edleson should be congratulated on seemingly important work in developing value averaging.

However, peer review of this work and other tests of value averaging are important steps to confirm or refute these findings. Finally, results also suggest that there is no statistical difference between DCA and random investment techniques either in expected return or in risk avoidance, thus confirming the earlier work of Marshall and Baldwin.

VA的表現比DCA或隨機投資還好，而且並不會增加風險，而如果股價的變動比較高，或是投資的時間比較長，那麼VA的優勢就會更明顯。而結果顯示定期定額無論在報酬或風險上，都和隨機投資沒有差異。

而2006年的文章，作者提供了更多實際的資料而非只是模擬，結果發現VA還是比較好的策略，只是在模擬研究中，VA的表現更好，而實際資料裡面，VA的表現比模擬情況低了大約0.75-1%，且實際資料的結果大約比其他方法多0.5%的報酬（五年尺度）或0.75%的報酬（十年尺度）。從實際資料來看，定期定額依然和隨機投資一樣沒有顯著差異。如果在相同的風險下，VA可以增加至少0.5%以上的報酬，其實就是一個不錯的方法了，因為如果平均報酬以5%計算，VA等於是增加了10%的報酬。而從作者的三個研究顯示，定期定額對投資一點幫助也沒有，而價值平均法則顯著可以增加報酬。

在最後作者有提到VA在真實市場是否是最好的投資方法仍然是一個可以討論的問題，往後的研究可以更注重在真實資料和模擬資料是否會對結論造成影響。而作者與VA書中設定的報酬是否會對結果造成影響也是一個問題，以及VA似乎在往上的市場會比往下的市場有更好的表現，這有什麼意義嗎？這些都是將來可以繼續深探的問題。

今天我們來談談定期定額（四）

這是SPY從2008年八月起到2009年七月底，剛好一年的SPY走勢圖。下面是Slow Stochastic，也就是KD指標，K和D參數分別是15,5，完全用Yahoo! Finanace預設值不改變。假設K值小於20為超賣（Oversold）指標，當K值回升到超過D值為進場訊號，那麼這一年內總共有七次進場時機：

日期	SPY收盤價
20081013	101.35
20081028	93.76
20081124	85.03
20090127	84.53
20090306	72.17
20090625	92.08
20090713	90.1
平均	88.43

而這一年如果以定期定額（DCA）投資的話，每個月進場一次，平均成本為92.88。而這一整年的SPY平均價位以年線SMA(250)來看的話，則大約在93。

如果只計算下跌區間，也就是2008年八月到2009年一月這半年，KD進場四次，平均成本為91.17，DAC平均成本98.82，半年線SMA(125)約在100。而另外半年大多是上漲趨勢，KD進場三次，平均成本為84.78，DAC平均成本86.94，半年線SMA(125)約在87。整理成表格：

狀態	平均價位	DCA平均成本	DCA進場次數	KD平均成本	KD進場次數	時段
有漲有跌	93	92.88（-0.13%）	12	88.43（-4.91%）	7	2008.8-2009.7
一路下跌	100	98.82（-1.18%）	6	91.17（-8.83%）	4	2008.8-2009.1
一路上漲	87	86.94（-0.00%）	6	84.78（-2.55%）	3	2009.2-2009.7

這只是舉個例子，其實還有很多類似的指標可以使用，不過我認為越簡單越好。以KD來講，公式和概念都很簡單，也幾乎所有的網站都提供這個技術指標。這種方式進場次數會比DCA每個月一次少，所以其實可以扣兩倍的錢，例如預計定期定額每個月1000美元，用KD指標則變成每次2000美元。而下跌時期KD會比較有機會低於20，所以下跌期間KD的進場次數可能會多一點。

這種進場方式其實並不少見，也有許多變形，大多數的使用者都是長期投資人，為了要降低持有成本而使用。以下稍微整理一下各種變形規則，大家可以參考：

(1) KD值未回到50則視為同一次超賣事件，只是在小範圍盤整而已，如果K再次低於20不需要再投入。不過有的人認為如果K值升超過D值又往下降，其實代表市場是走一個比較短中期的低檔盤整，在低點多投入無妨。這可以看上面例子中的20081013-20081028，20081028就是KD值未回到50，但也有再投入的例子。

(2) KD指標很容易鈍化，這算是技術分析的常識，所以在一個大跌幅的時候可能會有兩三個月KD值都在20以下，2008年六月到七月就是一個例子。同樣的，在一個大漲幅的時後也會有兩三個月KD值都在80以上，2009年三月到五月就是一個例子。在低檔的鈍化可能在鈍化一開始就會有K值大於D值而買入，等鈍化結束後可以再加碼投入以拉低持有成本。而在高檔的鈍化就放著別理他，因為這時候就是讓已經持有的股票或基金持續上漲幫投資人獲取報酬，甚至可以趁高檔鈍化結束的時候視為出場的機會。

(3) 搭配年線使用，如果股價在SMA(250)以上，即使KD指標達到進場標準也不買進。這種方法可能會根本找不到進場機會，例如2004到2008年這五年大牛市，股價幾乎沒有低於年線過。但是如果是一個固定大區間上下的市場（例如台股），這種方法則可以壓低進場成本至少兩成，也幾乎可以確保只在熊市買股票。

(4) 以更嚴格的K值，例如K<15為超賣（oversold）指標。

對了，使用KD指標要注意網站給的是週KD還是日KD。不管使用的是什麼週期的KD，也不管你有沒有更改KD的參數，只要計算出來的KD循環週期符合需求即可。像是Fast stochastic可能低於20和高於80的頻率高兩三倍，這有時候是太短期的波動了。而如果以比較長週期的KD來看，可能一年進場的次數只有一兩次，那麼持續投入的平均效果就會比較差。所以比較理想的是大約兩個月左右投入一次。

這種技術指標進場的方法，其實投資人在選定規則之後要自行遵守，維持紀律。如果說指數型投資是被動追蹤指數而不主動選股，那麼這種方法也是被動讓某一種規則找出進場的時間點而不是主動且主觀的受情緒影響去擇時進出市場。定期定額也有被動買進的功能，但是問題在於定期定額獲得的持有成本約略等於市場的平均價位，但技術分析的進場指標卻可以透過被動的規則取得低於定期定額的平均成本。如果一個在意主動投資與被動投資大約1-2%投資成本差異的投資人，因為費用成本而選擇被動的指數型投資，其實也應該找到一個可以降低持有成本的技術指標，被動地找出進場時間點，而這種技術指標的進場規則可以降低的買進成本甚至可以超過主動投資和被動投資差異的兩倍以上。如果以上面的例子來看，KD指標可以降低持有成本在2.55-8.83%，而一年下來平均降低的成本就比定期定額低4.91-0.13＝4.78%，這差異甚至已經是許多保守投資人心中預期的年化報酬率了！如果再加上選擇指數型基金，那麼和主動投資的差異已經快要達到6%，其實都快要達到美股的平均年報酬了。當然，進場太多次會面臨成本的問題，這也是要考量的。以Firstrade為例，基金定期定額不額外加算手續費，進場成本算是零。而如果這種不定期進場的方式，一年進場六次就是6*6.95=41.7美元了，一年進場要超過4170美元才能把這個成本壓在1%以下。如果一年進場六次，每次只有695美元以下，可能還是使用定期定額比較方便省事，因為如此一來成本的差異就沒有差太多了。

PS：我並未使用這種方法，就像我並未使用槓桿型ETF一樣，但還是介紹給大家知道，算是我自己的讀書筆記，未必會用上，但是有用到的一天找資料起來就容易多了。若以完全被動的投資技巧，選擇指數型基金搭配技術指標決定投資的時間點，不選股也不擇時，又可以降低持有成本，是可以考慮的懶人投資法。至於我，指數沒有跌超過高點的36%或十年線我並不會考慮進場，所以上次的SPX高點是1576.09，跌36%是1008.7，我是到SPX跌破1000點才開始找進場點的。所以買股票的時間很短，交易次數也很少，但是可以買得很便宜，也減少手續費上面的花費。我無法預測股價走勢，但是我盡量買便宜貨，這是一種降低風險最直接的方法。至於35%和十年線怎麼來的，是我從台股的經驗學來的，我不知道能否成功應用在美股，但至少這一次金融海嘯因為跌得夠深，讓股價跌破這兩個其實不容易觸及到的進場指標，也就讓我有機會以非常便宜的成本持有股票，不是最低點的666.79，但是在金融海嘯的大多數時間我的投資組合報酬都可以維持正值，甚至四月以來報酬大多都超過兩位數，是讓人很可以睡得著覺的投資方法，當然不如很多大師可以翻倍再翻倍，但我很快樂地學柏格說：Enough！

今天我們來談談定期定額（八）

這篇文章的內容主要整理自於Value Averaging（2006）一書中的幾個章節。

前面有提到無論定期定額或是價值平均法，都需要隨著時間調整，才能夠避免通膨並追上市場的成長，然而怎麼調整呢？每年調升10%或許是一個方法，而Michael E. Edleson提出價值平均法的另一個重點就是Value Path，也就是透過一個數學公式計算出你當時投資的價值應該是多少。

假設一個投資人在20年後有十萬元的需求，可能是養老金、小孩大學的學費等。在這段期間內，投資人願意每個月投資的價值成長0.5%=g，而期望每個月的報酬為1%=r，把r和g取平均之後就可以得到R=0.75%=0.0075。而T代表時間，T=240就是二十年後的最後一個月，VT則是該時間的價值（Value）。公式如下：

所以最後要獲得十萬元，100000＝C*240*(1+0.0075)^24，計算得C=69.34，也就是第一期應該投入的金額或是應該達到的價值。知道第一個月之後，第二個月就可以按照公式去計算：VT=V2=69.34*2*(1+0.0075)^2=140.77，並依此類推，就可以得到每個月應該達到的價值是多少。這和最原始的第一個月價值100，第二個月價值200已經有所不同，在這種情況下投資會跟隨市場一起成長。如果是最原始的價值平均法，起始價值為100，20年後也只有24000元，可是以Value Path做調整之後，起始價值為70，20年後則有100000。

這是最簡單的Value Path，當然會有許多的彈性可以改變，例如有起始的價值，帳戶內原本就有50000，那麼考量就又有差異，不過都只需要把公式稍做調整即可。書中的一些範例也有Excel可以自己試試看，下載網址在這裡。

書中還有談到一些稅的問題，尤其是價值平均法可能會有短線進出的問題，解決方法之一就是遇到要賣的時候就不買也不賣，直到預定價值成長到超過持股的價值，才再繼續買進（No-Sell Value Averaging）：

當然，如此一來報酬就會比較差，如果從稅後的報酬來看，似乎還是原始版本的VA比較有利。而買進的成本，除了手續費要盡可能降低以外，如果有退休專屬帳戶在這方面有優勢，也可以使用。

作者在書中的第七章專門告訴讀者他怎麼做模擬測試，有興趣的可以看看，而在第八章，作者用模擬的方式比較了DCA、VA，VA普遍都比DCA好。第九章則是討論當市場過度反應的情況，大多數市場的過度反應都是有利的，無論是超買還是超賣。而作者認為使用投資範圍廣泛、成本低廉的基金最適合用在DCA和VA。

如果一個投資打算在十年內存到五萬元，那麼他的Value Path就會是長這個樣子:

而在這種情況下，每個月增加的價值會隨著時間而越來越高：

剛開始每個月只增加200，但是到了第十年，每個月要增加的價值已經超過700了。所以如果以Value Path的方式，最好要有足夠的資金，以免最後沒有錢可以用。假設一個投資人月薪六萬，在初期可能只拿薪水的三分之一，感覺不是很大的負擔，但是到十年後要拿七萬出來，就算那時候薪水已經有十萬，也還是很大的負擔，畢竟一般人的薪水並沒有辦法跟市場或通膨有相同的成長速率。當然，到後期未必要投資人投入資金，股票上漲也可以補足所需要的價值成長，只是如果剛好又遇到熊市，那就真的要投資人拿出資金了。

PS: Value Averaging一書的內容已經介紹得差不多了，這系列的文章大概也要整理一下做個總結了。最多到（十）吧！還有什麼要討論的嗎？